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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	A polynomial is said to have a triple root <math>z=c</math> if the equation contains the factor <math>(z-c)^3</math>.	+	Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
-	For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as	+	In unseren Fall bedeutet dies, dass
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
-	according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and	+	wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und
-	<math>z=d</math> is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).	+	<math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.
-	We will now try to determine <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> and <math>d</math> so that both sides in the factorization above agree.	+	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
-	If we expand the right-hand side above, we get	+	Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]		&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
	&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]		&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
-	&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d	+	&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and this means that we must have	+	und daher muss
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
-	Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives	+	Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	3c+d &= 0\,,\\[5pt]		3c+d &= 0\,,\\[5pt]
	3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]		3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
-	-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]	+	-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
	c^3d &= b\,\textrm{.}		c^3d &= b\,\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,	+	Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 40:		Zeile 40:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	i.e. <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. The relation <math>d=-3c</math> gives that the corresponding values for <math>d</math> are <math>d=3</math> and <math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for	+	also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-	<math>a</math> and <math>b</math>,	+	<math>a</math> und <math>b</math>
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]	+	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
	b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]		b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
-	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]	+	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
	b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}		b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
		+	Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
-	Therefore, there are two different answers,	+	:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
-	:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,	+	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
-	:*<math>a=10</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=-1</math> and the single root <math>z=3</math>.	+
		+	Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	c=1,\ d=-3:\quad
		+	(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
		+	&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
		+	&= z^4 -6z^2 +8z-3
		+	\\[10pt]
		+	c=-1,\ d=3: \quad
		+	(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
		+	&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
		+	&= z^4 -6z^2 -8z-3
		+	\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>

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Aktuelle Version

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d.

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Da d=−3c, ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b

c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1+3(−3))=−8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=8=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• a=−8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=1 und eine einfache Nullstelle in z=−3,

• a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=−1 und eine einfache Nullstelle in z=3.

Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

c=1 d=−3:(z−1)3(z+3)c=−1 d=3:(z+1)3(z−3)=(z3−3z2+3z−1)(z+3)=z4−3z3+3z2−z+3z3−9z2+9z−3=z4−6z2+8z−3=(z3+3z2+3z+1)(z−3)=z4+3z3+3z2+z−3z3−9z2−9z−3=z4−6z2−8z−3.