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Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
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Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
In unseren Fall bedeutet dies, dass
In unseren Fall bedeutet dies, dass
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
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wobei <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist und
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wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und
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<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
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<math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.
Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
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Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
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Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
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&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d
+
&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
und daher muss
und daher muss
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
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Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
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-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]
+
-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
c^3d &= b\,\textrm{.}
c^3d &= b\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
+
Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 45: Zeile 45:
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
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c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]
+
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
-
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
+
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
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:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,
+
:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
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:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>.
+
:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
 +
 
 +
 
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Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
 +
 
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<math>\begin{align}
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c=1,\ d=-3:\quad
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(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
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&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
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&= z^4 -6z^2 +8z-3
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\\[10pt]
 +
c=-1,\ d=3: \quad
 +
(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
 +
&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
 +
&= z^4 -6z^2 -8z-3
 +
\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d.

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Da d=−3c, ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b


c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1+3(−3))=−8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=8=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • a=−8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=1 und eine einfache Nullstelle in z=−3,
  • a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=−1 und eine einfache Nullstelle in z=3.


Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

c=1 d=−3:(z−1)3(z+3)c=−1 d=3:(z+1)3(z−3)=(z3−3z2+3z−1)(z+3)=z4−3z3+3z2−z+3z3−9z2+9z−3=z4−6z2+8z−3=(z3+3z2+3z+1)(z−3)=z4+3z3+3z2+z−3z3−9z2−9z−3=z4−6z2−8z−3.

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