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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	c=1,\ d=-3:\\	+	c=1,\ d=-3:\quad
-	(z-1)^3(z+3) = (z^3-3z^2+3z-1)(z+3)	+	(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
-	= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3	+	&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
-	= z^4 -6z^2 +8z-3	+	&= z^4 -6z^2 +8z-3
	\\[10pt]		\\[10pt]
-	c=-1,\ d=3:	+	c=-1,\ d=3: \quad
-	(z+1)^3(z-3) = (z^3+3z^2+3z+1)(z-3)	+	(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
-	= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3	+	&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
-	= z^4 -6z^2 -8z-3	+	&= z^4 -6z^2 -8z-3
	\,\textrm{.}		\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

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Aktuelle Version

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d.

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Da d=−3c, ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b

c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1+3(−3))=−8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=8=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• a=−8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=1 und eine einfache Nullstelle in z=−3,

• a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=−1 und eine einfache Nullstelle in z=3.

Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

c=1 d=−3:(z−1)3(z+3)c=−1 d=3:(z+1)3(z−3)=(z3−3z2+3z−1)(z+3)=z4−3z3+3z2−z+3z3−9z2+9z−3=z4−6z2+8z−3=(z3+3z2+3z+1)(z−3)=z4+3z3+3z2+z−3z3−9z2−9z−3=z4−6z2−8z−3.