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Lösung 3.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
-
Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden
+
Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
+
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
r &= 1\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
+
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.

z−1=r(cos+isin)=1(cos+isin)

Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

r3(cos3+isin3)=1(cos+isin).

Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden

r33=1=+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl). 

Dadurch erhalten wir

r=1=3+32n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Für jede dritte ganze Zahl n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für n=0, für n=1 und für n=2).

z=1cos3+isin31cos+isin1cos35+isin35=21+i3−121−i3.

Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.

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