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Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}}
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Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
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-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
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\end{align}</math>}}
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und wir erhalten die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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r^4 &= 4\,,\\[5pt]
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4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
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\end{align} \right.</math>}}
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und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
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\end{align}\right.</math>}}
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Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
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Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)
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\end{align}\right.
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=
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\left\{\begin{align}
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1+i\,,&\\[5pt]
 +
-1+i\,,&\\[5pt]
 +
-1-i\,,&\\[5pt]
 +
1-i\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Die Lösungen für z sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
 +
&2+i\,,\\[5pt]
 +
&i\,,\\[5pt]
 +
&-i\,,\\[5pt]
 +
&2-i\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

r44=4=+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl) 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Für n=01, 2 und 3 nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i.

Die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
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