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Lösung 3.2:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> die Summe der Argumente von <math>\sqrt{3}+i</math> und <math>1-i</math>,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
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Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.
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(Da <math>1-i</math> im vierten Quadrant liegt, ist das Argument
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<math>-\beta</math> und nicht <math>\beta</math>.)
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Daher erhalten wir,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> schreiben, ist die Antwort
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{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von (3+i)(1−i)  die Summe der Argumente von 3+i  und 1−i,

arg(3+i)(1−i)=arg(3+i)+arg(1−i). 

Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.

(Da 1−i im vierten Quadrant liegt, ist das Argument − und nicht .)

Daher erhalten wir,

arg(3+i)(1−i)=arg(3+i)+arg(1−i)=6−4=−12. 


Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen 0 und 2 schreiben, ist die Antwort

−12+2=12−+24=1223.
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