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Lösung 1.2:2e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 1.2:2e moved to Lösung 1.2:2e: Robot: moved page)
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One way to differentiate the expression could be to expand <math>(2x+1)^4</math> multiply by <math>x</math> and differentiate term by term, but it is simpler instead to use the structure of the expression and differentiate step by step using the differentiation rules.
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Theoretisch ist es möglich den Ausdruck zu erweitern, und Term für Term abzuleiten. Dies ist aber mühsam, und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.
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To begin with, we have a product of <math>x</math> and <math>(2x+1)^4</math> so the product rule gives that
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Durch die Faktorregel erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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We can differentiate the expression <math>(2x+1)^4</math> by viewing it as "something raised to the 4",
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Wir berechnen die Ableitung von <math>(2x+1)^4</math> mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten
{{Abgesetzte Formel||<math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}</math>}}
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The chain rule then gives
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Durch die kettenregel erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 21: Zeile 21:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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We carry out the last differentiation directly, and obtain
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Die letzte Ableitung ist einfach
{{Abgesetzte Formel||<math>(2x+1)' = 2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(2x+1)' = 2\,\textrm{.}</math>}}
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If we go through the whole calculation from the beginning, it is
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Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 35: Zeile 35:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Both terms contain a common factor <math>(2x+1)^3</math> which we can take out to get an answer in factorized form,
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Wir hohlen schließlich den Faktor <math>(2x+1)^3</math> heraus,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 21:42, 18. Apr. 2009

Theoretisch ist es möglich den Ausdruck zu erweitern, und Term für Term abzuleiten. Dies ist aber mühsam, und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.

Durch die Faktorregel erhalten wir

ddxx(2x+1)4=(x)(2x+1)4+x(2x+1)4=1(2x+1)4+x(2x+1)4.

Wir berechnen die Ableitung von (2x+1)4 mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten

\displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}

Durch die kettenregel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\bigr] &= 4\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,3}\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,\prime}\,,\\[5pt] \frac{d}{dx}\,\bigl[(2x+1)^4\bigr] &= 4\cdot (2x+1)^3\cdot (2x+1)'\,\textrm{.} \end{align}

Die letzte Ableitung ist einfach

\displaystyle (2x+1)' = 2\,\textrm{.}

Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[2pt] &= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot (2x+1)'\\[5pt] &= (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2\\[5pt] &= (2x+1)^4 + 8x(2x+1)^3\,\textrm{.} \end{align}

Wir hohlen schließlich den Faktor \displaystyle (2x+1)^3 heraus,

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (2x+1)^3\bigl((2x+1)+8x\bigr)\\[5pt] &= (2x+1)^3(10x+1)\,\textrm{.} \end{align}

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