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Lösung 1.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 1.2:3a moved to Lösung 1.2:3a: Robot: moved page)
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There is a "ln of something", so a first step in the differentiation is to take the derivative of the logarithm,
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Als erster Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr) = {}\rlap{\frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)'\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr) = {}\rlap{\frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)'\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
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We can carry out the differentiation of <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+1}</math> on the right-hand side term by term to obtain
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Wir leiten den Ausdruck <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+1}</math> Term für Term ab, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} = {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \bigl[ (\sqrt{x})' + (\sqrt{x+1})'\bigr]}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} = {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \bigl[ (\sqrt{x})' + (\sqrt{x+1})'\bigr]}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
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and it remains then only to differentiate <math>\sqrt{x}</math>, which we do directly, and <math>\sqrt{x+1}</math> (which has a simple inner derivative),
+
Danach leiten wir die Funktionen <math>\sqrt{x}</math> und <math>\sqrt{x+1}</math> direkt ab,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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If we rewrite the expression inside the square brackets using a common denominator, we get
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Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
= {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \Bigr]\,,}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
= {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \Bigr]\,,}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
-
and we can then eliminate the factor <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}</math> from the numerator and denominator to get
+
Wir kürzen den Bruch mit <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}</math> und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
= {}\rlap{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
= {}\rlap{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}

Version vom 11:30, 19. Apr. 2009

Als erster Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion,

ddxlnx+x+1=1x+x+1x+x+1.

Wir leiten den Ausdruck x+x+1  Term für Term ab, und erhalten

=1x+x+1(x)+(x+1) 

Danach leiten wir die Funktionen x  und x+1  direkt ab,

=1x+x+112x+12x+1(x+1)=1x+x+112x+12x+11.

Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir

=1x+x+12xx+1x+1+x 

Wir kürzen den Bruch mit x+1+x  und erhalten

=12xx+1.
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