Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Because <math>z=1-2i</math> should be a root of the equation, we can substitute
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Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel (Nullstelle) der Gleichung ist, können wir
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<math>z=1-2i</math> in and the equation should be satisfied,
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<math>z=1-2i</math> substituieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
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We will therefore adjust the constants <math>a</math> and <math>b</math> so that the relation above holds. We simplify the left-hand side,
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Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
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and collect together the real and imaginary parts,
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und separieren den Real- und Imaginärteil,
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
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If the left-hand side is to equal the right-hand side, the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.
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und erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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This gives <math>a=1</math> and <math>b=10</math>.
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Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
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The equation is thus
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Die Gleichung ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
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and has the prescribed root <math>z=1-2i</math>.
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und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
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What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has, in addition, the complex conjugate root <math>z=1+2i</math>.
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Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist.
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Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor
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Also wird das Polynom den Faktor
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
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and this means that we can write
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enthalten, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
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where <math>z-A</math> is the factor which corresponds to the third root <math>z=A</math>. Using polynomial division, we obtain the factor
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wo <math>z-A</math> der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 49: Zeile 49:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, the remaining root is <math>z=-2</math>.
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Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.

Version vom 14:10, 21. Mai 2009

Nachdem \displaystyle z=1-2i eine Wurzel (Nullstelle) der Gleichung ist, können wir \displaystyle z=1-2i substituieren,

\displaystyle (1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}

Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir \displaystyle a und \displaystyle b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,

\displaystyle -11+2i+a(1-2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil,

\displaystyle (-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}

und erhalten,

\displaystyle \left\{\begin{align}

-11+a+b &= 0\,,\\[5pt] 2-2a &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle a=1 und \displaystyle b=10.

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^3+z+10=0

und hat die eine Wurzel \displaystyle z=1-2i.

Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch \displaystyle z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

\displaystyle \bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5

enthalten, und also ist

\displaystyle z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)

wo \displaystyle z-A der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align}

z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.

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