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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
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{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{outer derivative})
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung})
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\, (\text{ inner derivative})\,\mbox{.}</math>}}
+
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}
Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
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<li><math> f(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>
<li><math> f(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
<math>\begin{array}{ll}
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\text{Outer derivative:} & \cos (3x^2 +1)\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & \cos (3x^2 +1)\\
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\text{ Inner derivative:} & 6x
+
\text{Innere Ableitung:} & 6x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x
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<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>
<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
<math>\begin{array}{ll}
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\text{Outer derivative:} & 5\,e^{x^2}\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\
-
\text{ Inner derivative:} & 2x
+
\text{Innere Ableitung:} & 2x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
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<li><math> f(x) = e^{x\, \sin x}</math><br><br>
<li><math> f(x) = e^{x\, \sin x}</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
<math>\begin{array}{ll}
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\text{Outer derivative:} & e^{x\, \sin x}\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\
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\text{ Inner derivative:} & 1\times \sin x + x \cos x
+
\text{Innere Ableitung:} & 1\times \sin x + x \cos x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
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</div>
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The chain rule also can be used repeatedly on a function that is composed at several levels. For example, the function <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> has the derivative
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Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen Abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> die Ableitung
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==Higher order derivatives ==
+
== Höhere Ableitungen ==
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If a function is differentiable more than once, one can consider higher derivatives like the second derivative, third derivative, and so on.
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Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
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The second derivative usually is written as <math>f^{\,\prime\prime}</math> (sometimes referred to as "double-prime"), while the third, fourth, etc. derivatives, are written as <math>f^{\,(3)}</math>, <math>f^{\,(4)}</math> and so on.
+
Die zweite Ableitung schreibt man meißtens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung wie <math>f^{\,(3)}</math> schreibe, die vierte wie <math>f^{\,(4)}</math> etc.
-
Other usual notations for these quantities are <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math>, <math>\ldots\,</math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math>.
+
Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.
<div class="exempel">
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Version vom 15:23, 9. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung einer verketteten Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :

  • In Prinzip jede Funktion die auf Elementarfunktionen besteht ableiten.

Die Faktor- und Quotientenregel

Durch der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkten und Quoten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g) wo auch der Variabel g, selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), bekommt die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt dass die verkettete Funktion y aus einer Äußeren Funktion, f, und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung, und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y, in Bezug auf x, ist durch die Kettenregel

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex22x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:exsinx1sinx+xcosx

    f(x)=exsinx(sinx+xcosx)
  4. s(t)=t2cos(lnt)

    s(t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) 
  5. ddxax=ddxelnax=ddxelnax=elnaxlna=axlna 
  6. ddxxa=ddxelnxa=ddxealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1 

Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen Abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion y=fg(h(x))  die Ableitung


y=fg(h(x))g(h(x))h(x). 


Beispiel 4

  1. ddxsin32x=ddx(sin2x)3=3(sin2x)2ddxsin2x=3(sin2x)2cos2xddx(2x)
    =3sin22xcos2x2=6sin22xcos2x
  2. ddxsin(x2−3x)4=cos(x2−3x)4ddx(x2−3x)4 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3ddx(x2−3x) 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) 
  3. ddxsin4(x2−3x)=ddxsin(x2−3x)4 
    =4sin3(x2−3x)ddxsin(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)ddx(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)(2x−3)
  4. ddxex3−1=ex3−1ddxx3−1=ex3−112x3−1ddx(x3−1) 
    =ex3−112x3−13x2=2x3−13x2ex3−1


Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meißtens f, während man die dritte Ableitung wie f(3) schreibe, die vierte wie f(4) etc.

Mann kann auch D2f, D3f oder dx2d2y, dx3d3y, ... schreiben.

Beispiel 5

  1. f(x)=3ex2−1
    f(x)=3ex2−1ddx(x2−1)=3ex2−12x=6xex2−1
    f(x)=6ex2−1+6xex2−12x=6ex2−1(1+2x2)
  2. y=sinxcosx
    dxdy=cosxcosx+sinx(−sinx)=cos2x−sin2x
    dx2d2y=2cosx(−sinx)−2sinxcosx=−4sinxcosx
  3. ddx(exsinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)
    d2dx2(exsinx)=ddxex(sinx+cosx)  =ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx
    d3dx3(exsinx)=ddx(2excosx) =2excosx+2ex(−sinx)=2ex(cosx−sinx)
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