3.3 Potenzen und Wurzeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
{{Info| | {{Info| | ||
'''Inhalt:''' | '''Inhalt:''' | ||
| - | * Der | + | * Der Moivresche Satz |
* Quadratische Gleichungen | * Quadratische Gleichungen | ||
* Exponentialfunktionen | * Exponentialfunktionen | ||
Version vom 00:28, 7. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Der Moivresche Satz
- Quadratische Gleichungen
- Exponentialfunktionen
- Quadratische Ergänzung
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Potenzen von komplexen Zahlen mit den Moivrechen Satz lösen.
- Wurzeln von komplexen Zahlen berechnen indem man die Zahl auf Polarform bringt.
- Komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch Ergänzen.
- Komplexe quadratische Gleichungen lösen.
Moivrescher Satz
Die Rechenregeln 
zw=zw
 arg(z z)=argz+argzzz=zzargz3=3argzz3=z3etc. |
Für eine beliebige komplexe Zahl 
+isin)
 r(cos+isin) n=rn(cosn+isinn). |
Falls z=1
| +isin)n=cosn+isinn, |
Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wir wir sehen werden, ist diese Rege sehr wichtig wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
Beispiel 1
Falls 
21+i
Wir schreiben 2+i2=1
cos
4+isin4
| cos4+isin43=cos43+isin43=−12+12i=2−1+i,=cos4+isin4100=cos4100+isin4100=cos25+isin25=cos+isin=−1. |
Beispiel 2
Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen
und mit den Moivreschen Satz erhalten wir
Nachdem die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleich setzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
| cos2vsin2v=cos2v−sin2v,=2sinvcosv. |
Beispiel 3
Vereinfachen Sie 3+i)14(1+i3)7(1+i)10
Wir schreiben die Zahlen 3+i 3
1+i ,3=2cos3+isin3 1+i= .2cos4+isin4
Durch den Moivreschen Satz erhalten wir
| 3+i)14(1+i3)7(1+i)10=214cos614+isin61427cos37+isin37(2)10cos410+isin410 |
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
| cos629+isin629214cos614+isin614=22cos−615+isin−615=4cos−2+isin−2=−4i. |
Die nte Wurzel von komplexe Zahlen
Eine komplexe
Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhaltet man indem man beide Zahlen auf Polarform bringt, und deren Betrag und Argument vergleicht.
Gegeben eine Zahl w(cos
+isin)+isin)
| +isinn)=w(cos+isin), |
wo die den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
| rnn=w,=+k2. |
Beachten Sie hier dass wir einen Multipel von
r= nw =(+2k) nk=0 12... |
Wir erhalten also einen Wert für
Kommentar. Beachten Sie dass das Argument der Lösungen sich immer mit n
nw
Exempel 4
Lösen Sie die Gleichung
Wir schreiben
z=r(cos ,+isin)16i=16 .cos2+isin2
Die Gleichung
| +isin4)=16cos2+isin2. |
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten,erhalten wir
r44=16=2+k2i.e.r=416=2=8+k2k=0123 |
|
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
|
|
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/6/b/9/6b9221f9f7b01fe26ab79402492dcd48.png)
Exponentialform der komplexen Zahlen
Wenn wir
| )=r(cos+isin) |
erhalten wir durch wiederholte Ableitung
 ()f()=−rsin+ricos=ri2sin+ricos=ir(cos+isin)=if()=−rcos−risin=i2r(cos+isin)=i2f()etc. |
Die einzige reellen Funktionen die die dies erfüllen, sind Funktionen auf der Form
 =cos+isin. |
Dies ist auch eine Generalisierung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Substituieren wir
Die Definition von +isin)=rei
Beispiel 5
Für eine reelle Zahl i
 i=ea(cos0+isin0)=ea1=ea. |
Beispiel 6
Eine weitere Folge dieser Definition erhalten wir durch den Moivrischen Satz
| ein=(cos+isin)n=cosn+isinn=ein, |
und dies erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,
| axy=axy. |
Beispiel 7
Von den Definitionen oben, erhalten wir die Formel
 i=cos+isin=−1 |
Diese Berühmte Formel wurde von Euler in den 18 Jahrhundert entdeckt.
Beispiel 8
Lösen Sie die Gleichung
Wir lassen
- \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}
In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ ; Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
| \displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*} |
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
- \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
- \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
- \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
also \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.
Beispiel 9
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.
Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also
| \displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,} |
Wir sehen direkt dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist, und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
| \displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*} |
Die Wurzeln sind also
- \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
- \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}
Quadratische Ergänzung
Die wohlbekannten Regeln
| \displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right. |
die wir verwenden um Quadraten zu erweitern, können auch verwendet werden um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel,
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*} |
Dies kann verwendet werden um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel,
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*} |
Indem wir die Wurzeln berechnen erhalten wir dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und dass \displaystyle x=-2\pm 3, und also \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.
Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um einer der binomischen Formeln rückwärts verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
| \displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.} |
Addiere wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form:
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*} |
Diese Methode um quadratische Gleichungen zu lösen nennt man quadratische Ergänzung.
Beispiel 10
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.
Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben un quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir:\displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*} Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2, und also ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.
Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indemwir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir\displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*} und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.
Allgemein addiert oder subtrahiert man eine Konstante sodass die Konstante in der linken Seite der Gleichung die Quadrate von den halben Koeffizienten vom x-Term ist. Diese Methode ist ganz allgemein, und funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
Beispiel 11
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.
Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} zu beiden Seiten addieren
| \displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*} |
Wir sehen dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.
Beispiel 12
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*} |
Dadurch erhalten wir eine Allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
| \displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.} |
Beispiel 13
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.
Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i), und also addieren wir die Quadrate von den Koeffizienten zu beiden Seiten der Gleichung,
| \displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.} |
Erweitern Wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite Quadratisch, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*} |
Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.
Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel,
| \displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 14
Ergänzen Sie \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.
Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,
| \displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*} |
Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel
Manchmal ist es am einfachsten quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme Wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen dass
| \displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.} |
Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*} |
Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right. |
Diese Gleichungen löst man zum Beispiel indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung substituiert.
Beispiel 15
Berechnen Sie \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.
Wir nehmen an dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ wo \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*} |
und wir erhalten die beiden Gleichungen
| \displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*} |
Von der zweiten Gleichung erhalten wir dass \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ , und dies substituiert in der ersten Gleichung ergibt
| \displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.} |
Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten Lösen indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren,
| \displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.} |
Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig nachdem \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, und dadurch
- \displaystyle \ x=-1\ gibt dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
- \displaystyle \ x=1\ gibt dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.
Also ist
| \displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 16
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.
Wir erhalten durch die Allgemeine Lösungsformel (Siehe Beispiel 12) dass\displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.} - Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}
Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten\displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*} - Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}
Division of both sides by \displaystyle i gives\displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*} Durch die Lösungsformel erhalten wir
\displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*} Wo wir und vom Beispiel 15 verwendet haben um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher
\displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}
