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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
-	die wir lösen indem wir annehmen dass <math>w=x+iy</math>,	+	die wir lösen indem wir annehmen, dass <math>w=x+iy</math>,
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
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	y &= \tfrac{3}{2}		y &= \tfrac{3}{2}
	\end{align}\right.		\end{align}\right.
-	\qquad\text{and}\qquad	+	\qquad\text{und}\qquad
	\left\{\begin{align}		\left\{\begin{align}
	x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]		x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
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	durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.		durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
-	Zuletzt kontrollieren wir ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen,	+	Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen,
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

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Version vom 10:05, 23. Aug. 2009

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch 4+i, sodass wir den der Koeffizient von z2 1 ist.

z2+4+i1−21iz=174+i.

Die beiden komplexen Brüche sind

4+i1−21i174+i=(4+i)(4−i)(1−21i)(4−i)=42−i24−i−84i+21i2=16+1−17−85i=17−17−85i=−1−5i=17(4−i)(4+i)(4−i)=42−i217(4−i)=1717(4−i)=4−i.

Die Gleichung ist daher

z2−(1+5i)z=4−i.

und durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

z−21+5i2−21+5i2z−21+5i2−41+25i+425i2z−21+5i2−41−25i+425z−21+5i2=4−i=4−i=4−i=−2+23i.

Lassen wir w=z−21+5i sein, erhalten wir die Gleichung

w2=−2+23i

die wir lösen indem wir annehmen, dass w=x+iy,

(x+iy)2=−2+23i

oder, falls wir die linke Seie erweitern,

x2−y2+2xyi=−2+23i.

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung erhalten wir

x2−y22xy=−2=23

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung:

x2+y2=(−2)2+232=25.

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt, und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen:

x2−y22xyx2+y2=−2=23=25.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht x und y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten,

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2
\displaystyle +\ \	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
	\displaystyle 2x^2			\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{1}{2}

und wir erhalten \displaystyle x=\pm \tfrac{1}{2}.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten,

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \	\displaystyle \bigl(x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2\rlap{\bigr)}
			\displaystyle 2y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{9}{2}

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen,

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right.

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i\,,

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen,

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}