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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}	+	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
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	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}	+	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

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Version vom 18:00, 18. Mai 2009

Polar form

Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,

z1+i=r(cos+isin)=2cos4+isin4

und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

r2(cos2+isin2)=2cos4+isin4.

Damit die beiden Seiten gleich sein sollen. müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur mit einen Multipel von 2 unterscheiden,

r22=2=4+2n

Dies ergibt

r=2=21212=214=42=8+n

Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen das Argument 8 entsprechen, plus einen Multipel von 2, und alle ungerade Zahlen das Argument 98 entsprechen, plus einen Multipel von 2.

In Polarform lauten die Lösungen also

z=42cos8+isin842cos89+isin89.

Eine Lösung, z=42(cos(8)+isin(8)  liegt im ersten Quadrant, und die zweite Lösung, z=42(cos(98)+isin(98))  liegt im dritten Quadrant.

Auf der Form a + bi

Wir schreiben hier z=x+iy und versuchen die Konstanten x und y zu bestimmen.

Mit z=x+iy, erhalten wir die Gleichung

(x+iy)2x2−y2+2xyi=1+i=1+i.

Nachdem der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

x2−y22xy=1=1.

Wir können hier x und y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten,

x2+y2=12+12=2.

und wir erhalten insgesamt dre Gleihungen,

x2−y22xyx2+y2=1=1=2.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

	x2	−	y2	=	1
+	x2	+	y2	=	2
	2x2			=	2+1

und wir erhalten;

x=22+1.

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten erhalten wir,

	x2	+	y2	=	2
−	x2	−	y2	=	1
			2y2	=	2−1

und wir erhalten;

y=22−1.

Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen

xy=22+1=22−1xy=22+1=−22−1xy=−22+1=22−1xy=−22+1=−22−1

Die zweite Gleichung sagt dass xy positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen

xy=22+1=22−1andxy=−22+1=−22−1

Nachdem wir wissen dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:

z=22+1+i22−1−22+1−i22−1.

Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

42cos8+isin8=22+1+i22−1

und daher ist

cos8sin8=14222+1=14222−1.

und wir erhalten auch

tan8=sin8cos8=14222+114222−1=2+12−1.

Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,

tan8=(2+1)(2−1)(2−1)(2−1)=(2−1)2(2)2−12=2−1(2−1)2=(2−1)2=2−1.