Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 42: | Zeile 42: | ||
Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von | Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von | ||
| - | <math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. | + | <math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| Zeile 54: | Zeile 54: | ||
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>. | ::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>. | ||
| - | Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel | + | Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel |
<math>\alpha</math> nur in | <math>\alpha</math> nur in | ||
| - | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, | + | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. |
::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>. | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>. | ||
Version vom 10:47, 6. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.
Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:
 (Höhe)=31 r2h. |
Wir müssen jetzt den Radius 
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel −)R
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
r
r=(2−)R r=22−R. |
Jetzt haben wir den neuen Radius
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras
Also haben wir
 R2− 22−R 2=R2−22−2R2=R1−22−2. |
Jetzt haben wir den Radius
| r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2. |
Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere
V( , wo)=31R322−21−22−2 0 .
2
- Maximiere
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel
−)
2−)2
- Maximiere
V(x)=31 , wennR3x2
1−x2 0 .x1
- Maximiere
Wenn
Wir leiten die Funktion ab,
 (x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x) |
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x2 2(1−x2)−x2 =31R3x1−x2(2−3x2). |
Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Der Punkt \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle \sqrt{1-x^2} | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
| \displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
| \displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maxima ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:
| \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.} |
