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Lösung 3.3:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung. | Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung. | ||
- | {{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4 | + | {{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}} |
- | Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das | + | Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] | w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] | ||
- | -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi) | + | -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi) |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | und erhalten die Gleichung | + | und wir erhalten die Gleichung |
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten | + | Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
r^4 &= 4\,,\\[5pt] | r^4 &= 4\,,\\[5pt] | ||
- | 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl) | + | 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)} |
\end{align} \right.</math>}} | \end{align} \right.</math>}} | ||
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\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> | + | Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\, | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}} |
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen | Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen | ||
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-1+i\,,&\\[5pt] | -1+i\,,&\\[5pt] | ||
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- | 1-i\,\textrm{ | + | 1-i\,\textrm{.} |
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | + | Die Lösungen für z sind | |
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align} |
Version vom 11:58, 3. Sep. 2009
Lösen wir die Gleichung für
Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
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und wir erhalten die Gleichung
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
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und erhalten
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Für 1
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Während wir für andere
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Die Lösungen für z sind
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