Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 1.1:5 moved to Lösung 1.1:5: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Suppose that the tangent touches the curve at the point <math>(x_0,y_0)</math>. That point must, first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.
+
Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
-
If we now write the equation of the tangent as <math>y=kx+m</math>, the slope of the tangent, ''k'', is given by the value of the curve's derivative, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, at <math>x=x_0</math>,
+
Schreiben wir die Tangente wie <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
-
The condition that the tangent goes through the point <math>(x_0,y_0)</math> gives us that
+
Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
-
In addition to this, the tangent should also pass through the point (1,1),
+
Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
-
Equations (1)-(4) constitute a system of equations in the unknowns <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> and <math>m</math>.
+
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
-
Because we are looking for <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, the first step is to try and eliminate ''k'' and ''m'' from the equations.
+
Nachdem wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ersuchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
-
Equation (2) gives that <math>k = -2 x_0</math> and substituting this into equation (4) gives
+
Die Gleichung (2) Gibt dass <math>k = -2 x_0</math> und dies in der Gleichung (4) gibt,
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
-
With ''k'' and ''m'' expressed in terms of <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, (3) becomes an equation that is expressed completely in terms of <math>x_0</math>
+
Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur <math>x_0</math->
-
and <math>y_0</math>,
+
und <math>y_0</math>-Terme,
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
-
This equation, together with (1), is a system of equations in <math>x_0</math> and <math>y_0</math>,
+
Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 35: Zeile 35:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Substituting equation (1) into (3') gives us an equation in <math>x_0</math>,
+
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
-
i.e.
+
also
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
This quadratic equation has solutions
+
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
Equation (1) gives the corresponding y-values,
+
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
Thus, the answers are the points <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> and
+
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]

Version vom 10:48, 9. Apr. 2009

Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also

y0=−x20. (1)

Schreiben wir die Tangente wie y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung, y=−2x, im Punkt x=x0,

k=−2x0. (2)

Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Nachdem wir x0 und y0 ersuchen, eliminieren wir zuerst k und m,

Die Gleichung (2) Gibt dass k=−2x0 und dies in der Gleichung (4) gibt,

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k, und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur x0undy0-Terme,

y0=−2x20+2x0+1. (3')

Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0,

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1.

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0,

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2andx0=1+2. 

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,

y0=−3+22andy0=−3−22. 

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.1:5“