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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
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{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{outer derivative})
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{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung})
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\, (\text{ inner derivative})\,\mbox{.}</math>}}
+
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}
Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
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<li><math> f(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>
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<math>\begin{array}{ll}
<math>\begin{array}{ll}
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\text{Outer derivative:} & \cos (3x^2 +1)\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & \cos (3x^2 +1)\\
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\text{ Inner derivative:} & 6x
+
\text{Innere Ableitung:} & 6x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x
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<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>
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\text{Outer derivative:} & 5\,e^{x^2}\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\
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\text{ Inner derivative:} & 2x
+
\text{Innere Ableitung:} & 2x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
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<li><math> f(x) = e^{x\, \sin x}</math><br><br>
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<math>\begin{array}{ll}
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\text{Outer derivative:} & e^{x\, \sin x}\\
+
\text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\
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\text{ Inner derivative:} & 1\times \sin x + x \cos x
+
\text{Innere Ableitung:} & 1\times \sin x + x \cos x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
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The chain rule also can be used repeatedly on a function that is composed at several levels. For example, the function <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> has the derivative
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Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen Abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> die Ableitung
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==Higher order derivatives ==
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== Höhere Ableitungen ==
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If a function is differentiable more than once, one can consider higher derivatives like the second derivative, third derivative, and so on.
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Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
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The second derivative usually is written as <math>f^{\,\prime\prime}</math> (sometimes referred to as "double-prime"), while the third, fourth, etc. derivatives, are written as <math>f^{\,(3)}</math>, <math>f^{\,(4)}</math> and so on.
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Die zweite Ableitung schreibt man meißtens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung wie <math>f^{\,(3)}</math> schreibe, die vierte wie <math>f^{\,(4)}</math> etc.
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Other usual notations for these quantities are <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math>, <math>\ldots\,</math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math>.
+
Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.
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Version vom 15:23, 9. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung einer verketteten Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :

  • In Prinzip jede Funktion die auf Elementarfunktionen besteht ableiten.

Die Faktor- und Quotientenregel

Durch der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkten und Quoten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g) wo auch der Variabel g, selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), bekommt die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt dass die verkettete Funktion y aus einer Äußeren Funktion, f, und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung, und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y, in Bezug auf x, ist durch die Kettenregel

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex22x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    \displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{Innere Ableitung:} & 1\times \sin x + x \cos x \end{array}

    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)
  4. \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)

    \displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)
  5. \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \times x} = e^{\ln a \times x} \, \ln a = a^x \, \ln a
  6. \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \times a \, \frac{1}{x} = x^a \times a \, x^{-1} = ax^{a-1}

Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen Abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) die Ableitung


\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) 
 \, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.}


Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\times 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x
  2. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr) \, \frac{d}{dx}\,(x^2 -3x)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3)
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x) = \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)
  4. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,(x^3-1) \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \times 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}


Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meißtens \displaystyle f^{\,\prime\prime}, während man die dritte Ableitung wie \displaystyle f^{\,(3)} schreibe, die vierte wie \displaystyle f^{\,(4)} etc.

Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.

Beispiel 5

  1. \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
    \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2)
  2. \displaystyle y = \sin x\,\cos x
    \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
    \displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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