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Lösung 1.2:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We can write the expression as
+
Wir schreiben useren Ausdruck wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{,}</math>}}
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and then we see that we have "something raised to -1", which can be differentiated one step by using the chain rule,
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Und sehen dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel erhalten wir die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The next step is to differentiate the product <math>x\cdot\sqrt{1-x^2}</math> using the product rule,
+
Die Aleitung von <math>x\cdot\sqrt{1-x^2}</math> erhalten wir durch die Faktorregel,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 20: Zeile 20:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The expression <math>\sqrt{1-x^2}</math> is of the type "square root of something", so we use the chain rule to differentiate,
+
Wir verwenden wieder die Kettenregel um <math>\sqrt{1-x^2}</math> abzuleiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 29: Zeile 29:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We write the expression on the right over a common denominator,
+
Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: When we make simplifications of the form <math>\bigl(\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math>, we assume that both sides are well defined (i.e. in this case that <math>x</math> lies between -1 and 1).
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Hinweis: Wenn wir vereinfachungen wir (\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math> machen, nehmen wir an dass beide Seiten definiert sind (in diesen Fall das <math>x</math> zwischen -1 und 1 liegt).

Version vom 12:24, 19. Apr. 2009

Wir schreiben useren Ausdruck wie

1x1−x2=x1−x2−1,

Und sehen dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel erhalten wir die Ableitung

ddxx1−x2−1=−1x1−x2−2x1−x2=−1x1−x22x1−x2=−1x2(1−x2)x1−x2.

Die Aleitung von x1−x2  erhalten wir durch die Faktorregel,

=−1x2(1−x2)(x)1−x2+x(1−x2)=−1x2(1−x2)11−x2+x(1−x2).

Wir verwenden wieder die Kettenregel um 1−x2  abzuleiten

=−1x2(1−x2)1−x2+x121−x2(1−x2)=−1x2(1−x2)1−x2+x121−x2(−2x)=−1x2(1−x2)1−x2−x21−x2.

Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner erhalten wir

=−1x2(1−x2)1−x21−x22−x2=−1x2(1−x2)1−x21−x2−x2=−1−2x2x2(1−x2)32.


Hinweis: Wenn wir vereinfachungen wir (\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math> machen, nehmen wir an dass beide Seiten definiert sind (in diesen Fall das x zwischen -1 und 1 liegt).

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