Lösung 1.3:6
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima. | Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima. | ||
| - | Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist | + | Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima. |
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Also ist die Fläche minimal wenn | Also ist die Fläche minimal wenn | ||
Version vom 12:21, 27. Apr. 2009
Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Der Volumen ist
 (Höhe)= r2h =(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh. |
Das Problem ist also; Minimiere die Fläche r2+2hr2h
Wir schreiben h als Funktion des Volumen,
| r2 |
und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben,
| r2+2rVr2=r2+r2V. |
Unser Problem ist dann
- Minimiere die Flächea
A(r)= , wennr2+r2Vr .
0
- Minimiere die Flächea
Die Funktion 000
Die Ableitung ist
 (r)=2r−r22V |
Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung
r−r22V=0 2r=r22Vr3=Vr= 3V. |
Die zweite Ableitung ist
| (r)=2+r34V |
und hat den Wert
  3V  =2+4VV=60 |
im stationären Punkt.
Also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} ein lokales Minima.
Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn \displaystyle r\to 0 oder wenn \displaystyle r\to \infty . In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen \displaystyle r\to 0 und \displaystyle r\to \infty , und also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} ein globales Minima.
Also ist die Fläche minimal wenn
| \displaystyle \begin{align}
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt] h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align} |
