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Lösung 2.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 2.2:2d moved to Lösung 2.2:2d: Robot: moved page)
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What makes the integral not entirely simple is the expression <math>1-x</math> under the root sign, so we try the substitution <math>u=1-x</math>,
+
Wir probieren die Substitution <math>u=1-x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
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\end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
\end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-
Note how the new limits of integration go from 1 to 0 (and not the other way around!). It is possible to change the order of the limits if we change sign at the same time, i.e.
+
Beachten Sie die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wächseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen,
{{Abgesetzte Formel||<math>-\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-
All that is now left is routine calculations,
+
Wir erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 13:16, 5. Mai 2009

Wir probieren die Substitution u=1−x,

1031−xdx=udu=1−x=(1−x)dx=−dx=−013udu. 

Beachten Sie die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wächseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen,

−013udu=+103udu. 

Wir erhalten,

103udu=10u13du= 31+1u13+1 10=43 u43 10=43143−043=43.
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