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Lösung 2.2:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 2.2:3e moved to Lösung 2.2:3e: Robot: moved page)
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If we differentiate the denominator in the integrand
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Die Ableitung des Nenners ist
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}
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we obtain almost the same expression as in the numerator; there is a constant 2 which is different. We therefore rewrite the numerator as
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Dies ist fast der Zähler. Wir schreiben den Zähler wie
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
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so the integral can be written as
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sodass wir das folgende Integral erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}
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and we see that the substitution <math>u=x^2+1</math> can be used to simplify the integral,
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Wir sehen hier dass die Substitution <math>u=x^2+1</math> günstig ist,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 25: Zeile 25:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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In the last step, we take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math>, because <math>x^2+1</math> is always greater than or equal to 1.
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Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, nachdem <math>x^2+1</math>immer positiv ist.

Version vom 13:29, 5. Mai 2009

Die Ableitung des Nenners ist

(x2+1)=2x

Dies ist fast der Zähler. Wir schreiben den Zähler wie

3x=232x=23(x2+1)

sodass wir das folgende Integral erhalten,

23x2+1(x2+1)dx 

Wir sehen hier dass die Substitution u=x2+1 günstig ist,

3xx2+1dx=udu=x2+1=(x2+1)dx=2xdx=23udu=23lnu+C=23lnx2+1+C=23ln(x2+1)+C.

Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, nachdem x2+1immer positiv ist.

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