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Lösung 3.2:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.2:5c moved to Lösung 3.2:5c: Robot: moved page)
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Geometrically, the multiplication of two complex numbers means that there magnitudes are multiplied and their arguments are added. The product <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> therefore has an argument which is the sum of the argument for the <math>\sqrt{3}+i</math> and <math>1-i</math>, i.e.
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Geometrisch ist das Argument von einen Produkt, die Summe der Argumente der beiden Terme. Also ist das Argument von <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> die Summe der Argumenten von <math>\sqrt{3}+i</math> und <math>1-i</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
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By drawing the factors in the complex plane, we can determine relatively easily the argument using simple trigonometry.
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Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, könne wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.
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[[Image:3_2_5_c.gif|center]]
[[Image:3_2_5_c.gif|center]]
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(Because <math>1-i</math> lies in the fourth quadrant, the argument equals
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(Nachdem <math>1-i</math> im vierten Quadrant liegt, is das Argument
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<math>-\beta</math> and not <math>\beta</math>.)
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<math>-\beta</math> und nicht <math>\beta</math>.)
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Hence,
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Daher erhalten wir,
{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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Note: If you prefer to give the argument between <math>0</math> and <math>2\pi </math>, then the answer is
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Hinweis: Wenn wir das Argument wie ein Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> schreiben, ist die Antwort
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 12:53, 13. Mai 2009

Geometrisch ist das Argument von einen Produkt, die Summe der Argumente der beiden Terme. Also ist das Argument von (3+i)(1−i)  die Summe der Argumenten von 3+i  und 1−i,

arg(3+i)(1−i)=arg(3+i)+arg(1−i). 

Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, könne wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.

(Nachdem 1−i im vierten Quadrant liegt, is das Argument − und nicht .)

Daher erhalten wir,

arg(3+i)(1−i)=arg(3+i)+arg(1−i)=6−4=−12. 


Hinweis: Wenn wir das Argument wie ein Winkel zwischen 0 und 2 schreiben, ist die Antwort

−12+2=12−+24=1223.
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