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Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.3:2d moved to Lösung 3.3:2d: Robot: moved page)
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If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,
+
Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
-
We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
+
Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 10: Zeile 10:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and the equation becomes
+
und erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
-
The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,
+
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 21: Zeile 21:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
-
which gives us that
+
und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 28: Zeile 28:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values
+
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
-
and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,
+
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
Zeile 48: Zeile 48:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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and the original variable z is
+
und die Lösungen für z sind
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}

Version vom 15:31, 18. Mai 2009

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4.

Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,

r44=4=+2n(n is an arbitrary integer), 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n is an arbitrary integer).

Für n=01, 2 und 3, nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45and47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i,

und die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
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