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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :
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* In Prinzip jede Funktion die auf Elementarfunktionen besteht ableiten.
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* In Prinzip jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableiten.
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== Die Faktor- und Quotientenregel ==
== Die Faktor- und Quotientenregel ==
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Durch der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkten und Quoten von Funktionen herleiten:
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Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:
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== Ableitung von verketteten Funktionen ==
== Ableitung von verketteten Funktionen ==
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Eine Funktion <math>y=f(g)</math> wo auch der Variabel ''g'', selbst eine Funktion von ''x'' ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also <math>y=f \bigl( g(x)\bigr)</math>. Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.
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Eine Funktion <math>y=f(g)</math> ,wo auch die Variable ''g'', selbst eine Funktion von ''x'' ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also <math>y=f \bigl( g(x)\bigr)</math>. Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.
{{Abgesetzte Formel||<math>y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
{{Abgesetzte Formel||<math>y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\, g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
\, g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
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Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, bekommt die Kettenregel
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Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, wird die Kettenregel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}}
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Man sagt dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer Äußeren Funktion, ''f'', und einer inneren Funktion ''g'' besteht. Analog nennt man <math>f^{\,\prime}</math> die äußere Ableitung, und <math>g'</math> die innere Ableitung.
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Man sagt, dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer äußeren Funktion, ''f'', und einer inneren Funktion ''g'' besteht. Analog nennt man <math>f^{\,\prime}</math> die äußere Ableitung, und <math>g'</math> die innere Ableitung.
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Die Ableitung der Funktion ''y'', in Bezug auf ''x'', ist durch die Kettenregel
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Die Ableitung der Funktion ''y'' in Bezug auf ''x'' ist durch die Kettenregel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}
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Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
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Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung})
{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung})
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}
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Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
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Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregel dort anzuwenden, wo sie notwendig sind.
<div class="exempel">
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Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen Abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> die Ableitung
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Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> die Ableitung
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Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
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Die zweite Ableitung schreibt man meißtens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung wie <math>f^{\,(3)}</math> schreibe, die vierte wie <math>f^{\,(4)}</math> etc.
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Die zweite Ableitung schreibt man meistens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung als <math>f^{\,(3)}</math> schreibt, die vierte als <math>f^{\,(4)}</math> etc.
Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.
Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.

Version vom 06:36, 6. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung einer verketteten Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :

  • In Prinzip jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableiten.

Die Faktor- und Quotientenregel

Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g) ,wo auch die Variable g, selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), wird die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion, f, und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung, und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregel dort anzuwenden, wo sie notwendig sind.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex22x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    \displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{Innere Ableitung:} & 1\times \sin x + x \cos x \end{array}

    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)
  4. \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)

    \displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)
  5. \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \times x} = e^{\ln a \times x} \, \ln a = a^x \, \ln a
  6. \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \times a \, \frac{1}{x} = x^a \times a \, x^{-1} = ax^{a-1}

Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) die Ableitung


\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) 
 \, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.}


Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\times 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x
  2. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr) \, \frac{d}{dx}\,(x^2 -3x)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3)
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x) = \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)
  4. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,(x^3-1) \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \times 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}


Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meistens \displaystyle f^{\,\prime\prime}, während man die dritte Ableitung als \displaystyle f^{\,(3)} schreibt, die vierte als \displaystyle f^{\,(4)} etc.

Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.

Beispiel 5

  1. \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
    \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2)
  2. \displaystyle y = \sin x\,\cos x
    \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
    \displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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