1.2 Ableitungsregeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Version vom 06:41, 6. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
- Die Ableitung einer verketteten Funktionen
- Höhere Ableitungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :
- In Prinzip jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableiten.
Die Faktor- und Quotientenregel
Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:
Faktor- und Quotientenregel:
 f(x)g(x) ddx f(x)g(x) =f (x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x) |
Beispiel 1
ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex .ddx(xsinx)=1 .
sinx+xcosx=sinx+xcosxddx(xlnx−x)=1 .lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnxddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x .ddx 
x1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
=x2 .xx−1=x−12xxddxxex1+x=(1+x)2(1 ex+xex)(1+x)−xex1
=(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex .
Ableitung von verketteten Funktionen
Eine Funktion g(x)
| (x)=fg(x)g(x). |
Nennen wir
Man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion, f, und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man
Beispiel 2
In der Funktion
| die äußere Funktion und | die innere Funktion. | ||
| die äußere Ableitung und | die innere Ableitung. |
Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben
Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregel falls notwendig anzuwenden
Beispiel 3
f(x)=sin(3x2+1)
Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x
f (x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)y=5ex2
Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x
y =5ex22x=10xex2f(x)=exsinx
Äußere Ableitung:Innere Ableitung:exsinx1 sinx+xcosx
f (x)=exsinx(sinx+xcosx)s(t)=t2cos(lnt)
s (t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) ddxax=ddx elnax=ddxelna
x=elnaxlna=axlna ddxxa=ddx elnxa=ddxealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1
Die Kettenregel kann mehrmals verwendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion g(h(x))
| =fg(h(x))g(h(x))h(x). |
Beispiel 4
ddxsin32x=ddx(sin2x)3=3(sin2x)2ddxsin2x=3(sin2x)2cos2xddx(2x)
=3sin22xcos2x 2=6sin22xcos2xddxsin (x2−3x)4=cos(x2−3x)4ddx(x2−3x)4
=cos (x2−3x)44(x2−3x)3ddx(x2−3x)
=cos (x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) ddxsin4(x2−3x)=ddx sin(x2−3x)4
=4sin3(x2−3x)ddxsin(x2−3x)
=4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)ddx(x2−3x)
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\, \frac{d}{dx}\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \times 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Höhere Ableitungen
Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
Die zweite Ableitung schreibt man meistens \displaystyle f^{\,\prime\prime}, während man die dritte Ableitung als \displaystyle f^{\,(3)} schreibt, die vierte als \displaystyle f^{\,(4)} etc.
Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.
Beispiel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
