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2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Partielle Integration ==
== Partielle Integration ==
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Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen <math>u</math> und <math>v</math> zwei ableitbare Funktionen sein, und erhalten durch die Faktorregel die Ableitung
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Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen <math>u</math> und <math>v</math> zwei ableitbare Funktionen sein und erhalten durch die Faktorregel die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
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Wir müssen uns hier noch einal von partieller Integration verwenden, um das Intagral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir<math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>,und also ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>:
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Wir müssen uns hier noch einmal partieller Integration anwenden, um das Integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>, und daher ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration indem wir den Faktor <math>e^x</math> integrieren und den Faktor <math>\sin x</math> ableiten.
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor <math>e^x</math> integrieren und den Faktor <math>\sin x</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
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Hier erscheine wieder unser ursprüngliches Integral.
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Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.
Wir haben also
Wir haben also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
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Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung die wir für unseres Integral lösen konnten. Dies ist oft vorkommend wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
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Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, die wir für unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
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Das Integral kann wie
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Das Integral kann als
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
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Danach verwenden wir uns von partieller Integration. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab, und integrieren den Faktor <math>2u</math>
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Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab, und integrieren den Faktor <math>2u</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''Hinweis:'' Alternativ kann man den Integrand wie <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> schreiben, und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration integrieren.
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''Hinweis:'' Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> zu schreiben, und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration zu integrieren.
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Version vom 22:24, 6. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Partielle Integration.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Die Herleitung der partiellen Integration verstehen.
  • Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, lösen.

Partielle Integration

Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen u und v zwei ableitbare Funktionen sein und erhalten durch die Faktorregel die Ableitung

D(uv)=uv+uv.

Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir

uv=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx 

und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.

Partielle Integration:

uvdx=uv−uvdx. 

Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral uvdx   einfacher zu berechnen ist als uvdx  . Hier ist v eine beliebige Stammfunktion von v (am liebsten die einfachste) und u ist die Ableitung von u.

Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion u sein soll, und welche v sein soll. Das folgende Beispiel zeigt,wie man vorgeht.

Beispiel 1

Bestimmen Sie das Integral xsinxdx .

Wenn wir u=sinx und v=x wählen, erhalten wir u=cosx und v=x22, und wir erhalten durch die Formel für partielle Integration

xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx. 

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.

Wenn wir aber u=x und v=sinx wählen, wird u=1 und v=−cosx,

xsinxdx=−xcosx−−1cosxdx=−xcosx+sinx+C. 

Beispiel 2

Bestimmen Sie das Integral  x2lnxdx .

Wir wählen u=lnx und v=x2, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion loswerden. Nachdem u=1x und v=x33 erhalten wir

x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C.

Beispiel 3

Bestimmen Sie das Integral  x2exdx .

Wir wählen u=x2 und v=ex, und daher ist u=2x und v=ex. Durch partielle Integration erhalten wir

x2exdx=x2ex−2xexdx. 

Wir müssen uns hier noch einmal partieller Integration anwenden, um das Integral 2xexdx  zu berechnen. Hier wählen wir u=2x und v=ex, und daher ist u=2 und v=ex:

2xexdx=2xex−2exdx=2xex−2ex+C. 

Das ursprüngliche Integral ist

x2exdx=x2ex−2xex+2ex+C. 

Beispiel 4

Bestimmen Sie das Integral  excosxdx .

Wir integrieren den Faktor ex und leiten den Faktor cosx ab,

excosxdx=excosx−ex(−sinx)dx=excosx+exsinxdx.

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor ex integrieren und den Faktor sinx ableiten.

exsinxdx=exsinx−excosxdx. 

Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

excosxdx=excosx+exsinx−excosxdx 

Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir

excosxdx=21ex(cosx+sinx)+C. 

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, die wir für unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimmen Sie das Integral  01ex2xdx .

Das Integral kann als

01ex2xdx=012xe−xdx. 

geschrieben werden. Wählen wir u=2x und v=e−x, erhalten wir durch partielle Integration

012xe−xdx=−2xe−x10+012e−xdx=−2xe−x10+−2e−x10=(−2e−1)−0+(−2e−1)−(−2)=−e2−e2+2=2−e4.

Beispiel 6

Bestimmen Sie das Integral  lnx dx .

Zuerst machen wir die Substitution u=x , wodurch wir du=dx2x=dx2u  erhalten. Also ist dx=2udu, und wir erhalten das Integral

lnxdx=lnu2udu. 

Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor lnu ab, und integrieren den Faktor 2u

lnu2udu=u2lnu−u2u1du=u2lnu−udu=u2lnu−2u2+C=xlnx−x2+C=xlnx−21+C.


Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als lnx=21lnx  zu schreiben, und die Produkte 21lnx mit partieller Integration zu integrieren.

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