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3.4 Komplexe Polynome

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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* Polynomdivision ausführen.
* Polynomdivision ausführen.
* Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
* Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
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* Wissen dass ein Polynom mit Grad ''n'', ''n'' Nullstellen hat.
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* Wissen dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.
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* Wissen, dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.
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== Polynome ==
== Polynome ==
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Ausdrücke auf der Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
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Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen, und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
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Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom mit den Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' mit den Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom mit dem Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' mit dem Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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Das Beispiel zeigt dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
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Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
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Man kann auch schreiben dass <math>\ 37= 7\times 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7, un den Rest 2 ergibt.
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Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\times 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
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Analog gilt es, dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren, und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
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Analog gilt , dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren, und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}

Version vom 01:30, 7. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Polynomdivision
  • Fundamentalsatz der Algebra

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Polynomdivision ausführen.
  • Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
  • Wissen, dass ein Polynom mit Grad n, n Nullstellen hat.
  • Wissen, dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.

Polynome

Ausdrücke in der Form

anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0

wo n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome mit dem Grad n und der Variable x. Die Zahl a1 ist der Koeffizient von x, a2 ist der Koeffizient von x2, etc. Die Zahl a0 ist die Konstante des Polynoms.


Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.


Beispiel 1

Vergleichen Sie folgende Zahl in der Basis 10,

1353=1103+3102+510+3

Mit dem Polynom x

x3+3x2+5x+3=1x3+3x2+5x+3

und die folgenden Divisionen,

  • 111353=123 nachdem  1353=12311,
  • x+1x3+3x2+5x+3=x2+2x+3 nachdem  x3+3x2+5x+3=(x2+2x+3)(x+1).

Wenn p(x) ein Polynom mit dem Grad n ist, ist p(x)=0 eine Polynomgleichung mit dem Grad n. Falls p(a)=0 für die Zahl x=a, nennt man x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass x=a eine Nullstelle von p(x) ist.

Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel

537=535+2=7+52.

Man kann auch schreiben, dass  37=75+2. Die Zahl 7 wird Quotient benannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.


Analog gilt , dass wenn p(x) und q(x) Polynome sind, kann man p(x) durch q(x) dividieren, und die Polynome k(x) und r(x) bestimmen, sodass

p(x)q(x)=k(x)+r(x)q(x),

oder  p(x)=k(x)q(x)+r(x). Man sagt hier dass k(x) der Quotient ist, und r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn r(x)=0 sagt man dass p(x) durch q(x) teilbar ist, oder dass q(x) ein Teiler von p(x) ist. Dies schreibt man

p(x)q(x)=k(x),

oder  p(x)=k(x)q(x).


Polynomdivision

Wenn p(x) ein Grad hat der höher als der Grad von q(x) ist, kann man p(x) durch q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Multiplen von q(x) von p(x) abzieht, bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners q(x)ist.


Beispiel 2


Berechnen Sie  x+2x3+x2−x+4 durch Polynomdivision.


Der erster Schritt ist dass wir einen passenden x2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren

x+2x3+x2−x+4=x+2x3+2x2−2x2+x2−x+4.

Jetzt ist es offenbar dass x3+2x2wie x2(x+2) geschrieben werden kann, und dass wir den Faktor (x+2) kürzen können

x+2x2(x+2)−2x2+x2−x+4=x2+x+2−x2−x+4.

Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden x-Term vom Zähler, sodass wir den x2-Term los werden,

x2+x+2−x2−2x+2x−x+4=x2+x+2−x(x+2)+2x−x+4=x2−x+x+2x+4.

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante von Zähler

x2−x+x+2x+4=x2−x+x+2x+2−2+4=x2−x+1+2x+2.

und wir erhalten

x+2x3+x2−x+4=x2−x+1+2x+2.


Der Quotient ist also x2−x+1 und der Rest ist 2. Nachdem der Rest nicht null ist, ist q(x)=x+2 nicht ein Teiler von p(x)=x3+x2−x+4.


Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn q(x) ein Teiler von p(x) ist, ist p(x)=k(x)q(x). Wir haben p(x) also faktorisiert. Man sagt dass q(x) ein Faktor von p(x) ist. Besonders sagt man dass wenn ein Polynom (x−a) mit dem Grad 1 ein Teiler von p(x) dann ist (x−a) ein Faktor von p(x) , also

p(x)=q(x)(x−a).

Nachdem  p(a)=q(a)(a−a)=q(a)0=0  bedeutet dies dass x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.


Beispiel 3


Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann wie

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

in Faktoren zerlegt werden, und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen).Dies sind genau die Nullstellen die wir erhalten wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.

Beispiel 4


  1. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.

    Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    also. \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat eine doppelte Wurzel
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    und die Faktoren sind also \displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Beispiel 5


Bestimmen Sie ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.

Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das ersuchte Polynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann, oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist dass die komplexe Zahlen ausreichend sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss zeigte im Jahr 1799 das Fundamentalsatz der Algebra:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Nachdem aber jede Nullstelle einen Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

Jedes Polynom mit dem grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.

(Multiplizität bedeutet dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache nullstelle dreimal. etc.)


Beachten Sie dass der Satz nur sagt dass die komplexe Nullstellen existieren, und nicht wie man sie findet. Im allgemeinen ist es sehr schwierig die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, kann man benutzen dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.


Beispiel 6


Zeigen Sie dass das Polynom \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 die Nullstellen \displaystyle x=i und \displaystyle x = 2-i hat. Bestimmen Sie dadurch alle Nullstellen.


Wir haben dass

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

Dies ergibt

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

und daher sind \displaystyle i und \displaystyle 2-i Nullstellen des Polynoms.


Nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also \displaystyle z=-i und \displaystyle z=2+i.

Eine Folges des Fundamentalsatz der Algebra ist dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren, zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.


Beispiel 7


Zeigen Sie dass \displaystyle x=1 eine Nullstelle von \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2 ist. Zerlegen Sie danach \displaystyle p(x) in reelle Polynome, und zerlegen sie dann schließlich \displaystyle p(x) in lineare Faktoren.


Nachdem \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ ist \displaystyle x=1 eine Nullstelle des Polynoms. Laut den Fundamentalsatz der Algebra ist daher \displaystyle x-1 ein Faktor von \displaystyle p(x), also ist \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1 teilbar. Wir teilen daher \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1,

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

Also ist \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,, und dies ist die Antwort der ersten Frage.


Jetzt müssen wir nur noch \displaystyle x^2+2x+2 in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung \displaystyle x^2+2x+2=0 hat die Lösungen

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

und daher hat das Polynom die komplexen, linearen Faktoren;

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}
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