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Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Endpunkte.
+
# Endpunkte
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Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.
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Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedienung.
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Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
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Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
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Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.
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Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Version vom 10:03, 5. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit f(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte

Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass lnx nur definiert ist wenn x0. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (x=0 erfüllt nicht x0), also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da x und lnx überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedienung.

Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. f(x)=1x, und also ist

fe−1=1e−1=e0 

Also ist x=e−1 ein lokales Minimum.

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