Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 12:45, 27. Apr. 2009 (bearbeiten) Martin (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Version vom 09:10, 6. Aug. 2009 (bearbeiten) (rückgängig) Bayerer (Diskussion | Beiträge) Zum nächsten Versionsunterschied →
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Das Verfahren wenn wir die Kegel erschaffen wird hier deutlich illustriert:	+	Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
	[[Image:1_3_7_1_1.gif|center]]		[[Image:1_3_7_1_1.gif|center]]

---

Version vom 09:10, 6. Aug. 2009

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, definieren wir die Maße des Kegels.

Mit diesen Maßen wird der Volumen des Kegels,

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel schreiben, sodass wir den Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel von den Kreis weg, wird der Radius des über gebliebenen Kreises (2−)R sein, wo R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, und also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir also den neuen Radius r als Funktion von den Winkel und den ursprünglichen Radius R geschrieben.

Um die Höhe zu beschreiben, benutzen wir das Gesetz des Pythagoras

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel x=(2−)2 maximieren, um das Problem zu vereinfachen,

Maximiere V(x)=31R3x21−x2 , wenn 0x1.

Wenn x=0 oder x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2).

Die Ableitung ist null wenn x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn 2−3x2=0, also wenn x=23 . (Der Punkt x=−23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

x	0		32		1
x	0	+	+	+	+
1−x2	+	+	+	+	0
2−3x2	+	+	0	−	−

und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst

x	0		32		1
V(x)	0	+	0	−
V(x)	0		493R3		0

Wir sehen hier dass x=23  ein globales Maxima ist. x=23  entspricht den Winkel :

32=22−=21−23 radians.