Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert: | Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert: | ||
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- | Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, | + | Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels. |
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- | Mit diesen Maßen | + | Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels: |
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- | Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> | + | Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. |
- | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> | + | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, wird der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments |
- | <math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, | + | <math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. |
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Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch | Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch |
Version vom 10:40, 6. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.
Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:
![]() ![]() |
Wir müssen jetzt den Radius
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel −
)R
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
r
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Jetzt haben wir also den neuen Radius
Um die Höhe zu beschreiben, benutzen wir das Gesetz des Pythagoras
Also haben wir
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Jetzt haben wir den Radius
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Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere
V( , wo)=31
R3
2
2
−
2
1−
2
2
−
2
0 .2
- Maximiere
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel
−
)
2
−
)
2
- Maximiere
V(x)=31 , wennR3x2
1−x2
0 .x
1
- Maximiere
Wenn
Wir leiten die Funktion ab,
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und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Der Punkt \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
\displaystyle \sqrt{1-x^2} | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
\displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
\displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
\displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maxima ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:
\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.} |