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Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
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Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, wird der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
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Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
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Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
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<math>2\pi r</math>, und also haben wir
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<math>2\pi r</math>, also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt haben wir also den neuen Radius <math>r</math> als Funktion von den Winkel
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Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
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<math>\alpha</math> und den ursprünglichen Radius <math>R</math> geschrieben.
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<math>\alpha</math> und dem ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.
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Um die Höhe zu beschreiben, benutzen wir das Gesetz des Pythagoras
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Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras
[[Image:1_3_7_1_4.gif||center]]
[[Image:1_3_7_1_4.gif||center]]

Version vom 10:45, 6. Aug. 2009

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2−)R sein, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und dem ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel x=(2−)2 maximieren, um das Problem zu vereinfachen,

Maximiere V(x)=31R3x21−x2 , wenn 0x1.

Wenn x=0 oder x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2).

Die Ableitung ist null wenn x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn 2−3x2=0, also wenn x=23 . (Der Punkt x=−23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

x 0 32  1
x 0 + + + +
1−x2  + + + + 0
2−3x2 + + 0 − −


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst


x 0 32  1
V(x) 0 + 0 −  
V(x) 0 493R3  0

Wir sehen hier dass x=23  ein globales Maxima ist. x=23  entspricht den Winkel :

32=22−=21−23 radians. 
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