Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. | Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. | ||
| - | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, | + | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments |
<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. | <math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. | ||
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Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch | Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch | ||
| - | <math>2\pi r</math>, | + | <math>2\pi r</math>, also haben wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Jetzt haben wir | + | Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels |
| - | <math>\alpha</math> und | + | <math>\alpha</math> und dem ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt. |
| - | Um die Höhe zu | + | Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras |
[[Image:1_3_7_1_4.gif||center]] | [[Image:1_3_7_1_4.gif||center]] | ||
Version vom 10:45, 6. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.
Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:
 (Höhe)=31 r2h. |
Wir müssen jetzt den Radius 
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel −)R
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
r
r=(2−)R r=22−R. |
Jetzt haben wir den neuen Radius
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras
Also haben wir
 R2− 22−R 2=R2−22−2R2=R1−22−2. |
Jetzt haben wir den Radius
| r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2. |
Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere
V( , wo)=31R322−21−22−2 0 .
2
- Maximiere
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel
−)
2−)2
- Maximiere
V(x)=31 , wennR3x2
1−x2 0 .x1
- Maximiere
Wenn
Wir leiten die Funktion ab,
 (x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x) |
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x2 2(1−x2)−x2 =31R3x1−x2(2−3x2). |
Die Ableitung ist null wenn 
23 23 x1
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
| | | 32 | | ||
| | | | | | |
| 1−x2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
| \displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
| \displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maxima ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:
| \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.} |
