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Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
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<math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel
<math>\alpha</math> nur in
<math>\alpha</math> nur in
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<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren, um das Problem zu vereinfachen,
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<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.
::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.

Version vom 10:47, 6. Aug. 2009

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2−)R sein, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und dem ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable x=(2−)2 maximieren.

Maximiere V(x)=31R3x21−x2 , wenn 0x1.

Wenn x=0 oder x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2).

Die Ableitung ist null wenn x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn 2−3x2=0, also wenn x=23 . (Der Punkt x=−23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

x 0 32  1
x 0 + + + +
1−x2  + + + + 0
2−3x2 + + 0 − −


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst


x 0 32  1
V(x) 0 + 0 −  
V(x) 0 493R3  0

Wir sehen hier dass x=23  ein globales Maxima ist. x=23  entspricht den Winkel :

32=22−=21−23 radians. 
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