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Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel
+
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
<math>\alpha</math> nur in
<math>\alpha</math> nur in
<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
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::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.
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::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math>, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in <math>x=1</math> ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.
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Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null, weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.
Wir leiten die Funktion ab,
Wir leiten die Funktion ab,
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\end{align}</math>}}
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Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math>, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
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Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Raandpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
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Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maxima ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>:
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Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}

Version vom 10:50, 6. Aug. 2009

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2−)R sein, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und dem ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable x=(2−)2 maximieren.

Maximiere V(x)=31R3x21−x2 , für 0x1.

Wenn x=0 oder x=1 ist, ist das Volumen null, weil die Funktion überall (außer in x=1) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2).

Die Ableitung ist null wenn x=0 (dies ist ein Raandpunkt) oder wenn 2−3x2=0 ist, also wenn x=23 . (Der Punkt x=−23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

x 0 32  1
x 0 + + + +
1−x2  + + + + 0
2−3x2 + + 0 − −


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst


x 0 32  1
V(x) \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -  
\displaystyle V(x) \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 \displaystyle \searrow \displaystyle 0

Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\
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