Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>. | ::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>. | ||
- | Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass | + | Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel |
<math>\alpha</math> nur in | <math>\alpha</math> nur in | ||
<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. | ||
- | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, | + | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>. |
- | Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math>, ist | + | Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null, weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an. |
Wir leiten die Funktion ab, | Wir leiten die Funktion ab, | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist | + | Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Raandpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.) |
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren, | Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren, | ||
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|} | |} | ||
- | Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales | + | Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>: |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}} |
Version vom 10:50, 6. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.
Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:
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Wir müssen jetzt den Radius
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel −
)R
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
r
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Jetzt haben wir den neuen Radius
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras
Also haben wir
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Jetzt haben wir den Radius
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Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere
V( , wo)=31
R3
2
2
−
2
1−
2
2
−
2
0 .2
- Maximiere
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
−
)
2
−
)
2
- Maximiere
V(x)=31 , fürR3x2
1−x2
0 .x
1
- Maximiere
Wenn
Wir leiten die Funktion ab,
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und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
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Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x=0 (dies ist ein Raandpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0 ist, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Der Punkt \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
\displaystyle \sqrt{1-x^2} | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
\displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
\displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
\displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
\displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:
\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ |