Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

jsMath

Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
-
Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also
+
Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
-
Schreiben wir die Tangente wie <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
+
Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
-
Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
+
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
-
Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
+
Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
Zeile 17: Zeile 17:
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
-
Nachdem wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ersuchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
+
Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
-
Die Gleichung (2) Gibt dass <math>k = -2 x_0</math> und dies in der Gleichung (4) gibt,
+
Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
-
Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur <math>x_0</math->
+
Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
und <math>y_0</math>-Terme,
und <math>y_0</math>-Terme,

Version vom 12:08, 7. Aug. 2009

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=x20. (1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung, y=2x, im Punkt x=x0,

k=2x0. (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m,

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=2x0 Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

1=2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k, und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur x0undy0-Terme,

y0=2x20+2x0+1. (3')

Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0,

y0y0=x20=2x20+2x0+1.

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0,

x20=2x20+2x0+1

also

x202x01=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=12andx0=1+2. 

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,

y0=3+22andy0=322. 

Also erhalten wir die Punkte (123+22)  und (1+2322) .