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Lösung 1.3:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
+
# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Wir untersuchen die einzelnen Fälle
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Wir untersuchen die einzelnen Fälle.
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f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
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&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{.}
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&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt]
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\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt]
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\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt]
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\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt]
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x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,,
+
x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>
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Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>
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<li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>
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<li>Die Funktion besteht aus einem Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>
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<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li>
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<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.</li>
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</ol>
Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.
Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.
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Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.
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Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>}}
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nachdem <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
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da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
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Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und lokale Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.
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Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

Version vom 13:59, 20. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle.

  1. Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
    f(x)=(x2−x−1)ex+(x2−x−1)ex=(2x−1)ex+(x2−x−1)ex=(x2+x−2)ex

    Die Ableitung ist null, wenn x2+x−2=0 null ist, da ex immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

    x+212−212−2x+212x+21=0=49=23
    Also ist x=−21−23=−2 und x=−21+23=1. Beide Punkte liegen im Intervall −3x3.
  2. Die Funktion besteht aus einem Polynom x2−x−1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion ex. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
  3. Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten x=−3, x=−2, x=1 und x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

f(x)=(x2+x−2)ex=(x+2)(x−1)ex

da x2+x−2 die Wurzeln x=−2 und x=1.


x −3 −2 1 3
x+2 − − 0 + + + +
x−1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle e^x \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +


Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.


\displaystyle x \displaystyle -3 \displaystyle -2 \displaystyle 1 \displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)   \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +  
\displaystyle f(x) \displaystyle 11e^{-3} \displaystyle \nearrow \displaystyle 5e^{-2} \displaystyle \searrow \displaystyle -e \displaystyle \nearrow \displaystyle 5e^3


Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1 und lokale Maxima in den Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.

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