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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br>
<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br>
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1)
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1)
-
= 3\,e^{x^2 -1} \times 2x
+
= 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br>
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br>
-
<math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x
+
<math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li>
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li>
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br>
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br>

Version vom 13:50, 21. Aug. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung verketteter Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.

A - Die Produkt- und Quotientenregel

Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


B - Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g), wo auch die Variable g selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), wird die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex2cot2x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    \displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x \end{array}

    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)
  4. \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)

    \displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)
  5. \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \, \ln a = a^x \, \ln a
  6. \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \cdot a \, \frac{1}{x} = x^a \cdot a \, x^{-1} = ax^{a-1}

Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) die Ableitung


\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)

\, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.}


Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x
  2. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr) \, \frac{d}{dx}\,(x^2 -3x)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3)
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x) = \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)
  4. \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,(x^3-1) \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}


C - Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meistens \displaystyle f^{\,\prime\prime}, während man die dritte Ableitung als \displaystyle f^{\,(3)} schreibt, die vierte als \displaystyle f^{\,(4)} etc.

Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.

Beispiel 5

  1. \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
    \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2)
  2. \displaystyle y = \sin x\,\cos x
    \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
    \displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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