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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br>
<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br>
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1)
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1)
-
= 3\,e^{x^2 -1} \times 2x
+
= 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br>
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br>
-
<math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x
+
<math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li>
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li>
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br>
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br>

Version vom 13:50, 21. Aug. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung verketteter Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.

A - Die Produkt- und Quotientenregel

Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


B - Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g), wo auch die Variable g selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), wird die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex2cot2x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:exsinx1sinx+xcosx

    f(x)=exsinx(sinx+xcosx)
  4. s(t)=t2cos(lnt)

    s(t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) 
  5. ddxax=ddxelnax=ddxelnax=elnaxlna=axlna 
  6. ddxxa=ddxelnxa=ddxealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1 

Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion y=fg(h(x))  die Ableitung


y=fg(h(x))g(h(x))h(x). 


Beispiel 4

  1. ddxsin32x=ddx(sin2x)3=3(sin2x)2ddxsin2x=3(sin2x)2cos2xddx(2x)
    =3sin22xcos2x2=6sin22xcos2x
  2. ddxsin(x2−3x)4=cos(x2−3x)4ddx(x2−3x)4 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3ddx(x2−3x) 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) 
  3. ddxsin4(x2−3x)=ddxsin(x2−3x)4 
    =4sin3(x2−3x)ddxsin(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)ddx(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)(2x−3)
  4. ddxex3−1=ex3−1ddxx3−1=ex3−112x3−1ddx(x3−1) 
    =ex3−112x3−13x2=2x3−13x2ex3−1


C - Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meistens f, während man die dritte Ableitung als f(3) schreibt, die vierte als f(4) etc.

Mann kann auch D2f, D3f oder dx2d2y, dx3d3y, ... schreiben.

Beispiel 5

  1. f(x)=3ex2−1
    f(x)=3ex2−1ddx(x2−1)=3ex2−12x=6xex2−1
    f(x)=6ex2−1+6xex2−12x=6ex2−1(1+2x2)
  2. y=sinxcosx
    dxdy=cosxcosx+sinx(−sinx)=cos2x−sin2x
    \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
    \displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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