Lösung 1.3:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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# Endpunkte. | # Endpunkte. | ||
- | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden. | + | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | Die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>. | + | Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>. |
- | Die Funktion hat also drei stationäre Punkte | + | Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>, |
- | <math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>. | + | <math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>. |
- | Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der | + | Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}} | ||
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- | |width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2} - 1}</math> | + | |width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2}-1}</math> |
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Version vom 19:13, 21. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit
f ,(x)=0
- singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte.
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner
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Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
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Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren
Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
Die Lösungen sind 2
2=x2
Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, 2−1
2−1
Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
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und durch quadratische Ergänzung von
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Die Ableitung ist also
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Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
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| | | | | | \displaystyle + | \displaystyle + |
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
\displaystyle (x^4 + 1)^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
\displaystyle x | \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1} | ||||
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
\displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow | \displaystyle 1 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow |
Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum im Punkt \displaystyle x=0.