Lösung 1.3:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>. | ::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>. | ||
| - | Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ | + | Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ </math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an. |
Die Ableitung ist | Die Ableitung ist | ||
Version vom 19:27, 21. Aug. 2009
Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.
Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie, die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.
Die Fläche ist
 )=10 10cos+22110cos10sin=100cos(1+sin). |
Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen 
2
- Maximiere
A( wenn)=100cos(1+sin)0 .
2
- Maximiere
Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn =0=2
Die Ableitung ist
 ()=100(−sin)(1+sin)+100coscos=−100sin−100sin2+100cos2. |
Für stationäre Punkte ist ()=0
| +sin2−cos2=0 |
Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben, ersetzen wir
| +sin2−(1−sin2)2sin2+sin−1=0=0 |
Das ist eine quadratische Gleichung für
 sin+41 2−2412−1sin+412=0=916 |
Wir erhalten weiter =−41
43=−1=21
Der Fall, dass =−12=21=6=6
Wir wissen von der Figur her, dass die Fläche lokale Minima in den Punkten =0=2=6
| ()=−100cos−1002sincos+1002cos(−sin)=−100cos(1+4sin) |
Dieser Ausdruck ist negativ für =6
(6)=−100cos6 1+4sin6 =−1002 31+421 0 |
Also ist =6
