Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. | ||
- | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ | + | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>. |
Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an. | Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an. |
Version vom 19:48, 21. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.
Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.
Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels
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Wir müssen jetzt den Radius
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel −
)R
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
r
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Jetzt haben wir den neuen Radius
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.
Also haben wir
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Jetzt haben wir den Radius
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Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere
V( , wo)=31
R3
2
2
−
2
1−
2
2
−
2
0 .2
- Maximiere
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
−
)
2
−
)
2
- Maximiere
V(x)=31 , fürR3x2
1−x2
0 .x
1
- Maximiere
Wenn
Wir leiten die Funktion ab
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und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.
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Die Ableitung ist null, wenn 2
3
2
3
x
1
Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
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| | | | | |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.
| | ![]() | | ||
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| | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | |
Wir sehen hier, dass 2
3
2
3
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