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Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math>, machen, müssen wir folgendes bedenken:
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> machen, müssen wir folgendes bedenken:
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
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# <math>dx</math>, muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>.
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# <math>dx</math> muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>.
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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und also ersetzen wir<math>dx</math>mit <math>\tfrac{1}{3}\,du</math>.
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und also ersetzen wir<math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3}\du</math>.
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze

Version vom 09:38, 22. Aug. 2009

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution u=u(x) machen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable u umgeschrieben werden.
  2. dx muss mit du ersetzt werden, indem du=u(x)dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution u=3x−1, nachdem 1(3x−1)4 mit 1u4 ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(3x−1)dx=3dx

und also ersetzen wirdx mit Unknown control sequence '\du'.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze x=1, u=31−1=2. Die obere Integrationsgrenze x=2, entspricht u=32−1=5.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du. 

oder weniger detailliert,

21dx(3x−1)4=u=3x−1=52u431du. 

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du=3152u−4du=31 u−4+1−4+1 52=−91 1u3 52=−91153−123=−91235323−53=117322353=3213322353=132353=131000.
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