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Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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und also ersetzen wir<math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3}\du</math>.
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und also ersetzen wir <math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3} du</math>.
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze

Version vom 09:42, 22. Aug. 2009

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution u=u(x) machen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable u umgeschrieben werden.
  2. dx muss mit du ersetzt werden, indem du=u(x)dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution u=3x−1, nachdem 1(3x−1)4 mit 1u4 ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(3x−1)dx=3dx

und also ersetzen wir dx mit 31du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze x=1, u=31−1=2. Die obere Integrationsgrenze x=2, entspricht u=32−1=5.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du. 

oder weniger detailliert,

21dx(3x−1)4=u=3x−1=52u431du. 

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du=3152u−4du=31 u−4+1−4+1 52=−91 1u3 52=−91153−123=−91235323−53=117322353=3213322353=132353=131000.
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