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Lösung 2.2:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus den nenner,
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Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
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und schreien den quadratischen Term wie
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und schreiben den quadratischen Term wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 10:08, 22. Aug. 2009

Wir führen quadratische Ergänzung im Nenner aus,

dxx2+4x+8=dx(x+2)2−22+8=dx(x+2)2+4. 

Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner,

dx(x+2)2+4=dx441(x+2)2+1=41dx41(x+2)2+1 

und schreiben den quadratischen Term wie

41dx41(x+2)2+1=41dx2x+22+1. 

Machen wir die Substitution u=(x+2)2, erhalten wir das erwünschte Integral

41dx2x+22+1=udu=(x+2)2=dx2=412duu2+1=21duu2+1=21arctanu+C=21arctan2x+2+C.
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