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Lösung 2.3:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
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wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
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Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass der Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
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Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
Im Integral
Im Integral

Version vom 10:58, 22. Aug. 2009

Die Formel für partielle Integration lautet

f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−F(x)g(x)dx 

wo F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist und g(x) die Ableitung von g(x) ist.

Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren f(x) und g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt F(x)g(x) einfacher zu integrieren ist als f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

Im Integral

2xe−xdx 

ist es sinnvoll f(x)=e−x und g(x)=2x zu wählen, nachdem dann g(x)=2 und F(x)=−e−x, deren Produkte wir einfach integrieren können.

2xe−xdx=2x−e−x−2−e−xdx=−2xe−x+2e−xdx.

Schließlich müssen wir nur noch das Integral e−x berechnen,

\displaystyle \begin{align}

\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{} &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] &= -2(x+1)e^{-x} + C\,\textrm{.} \end{align}

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