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Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
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Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.
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Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivreschen Gesetz benutzen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
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4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
+
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
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Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
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Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}

Version vom 21:22, 22. Aug. 2009

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4.

Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivreschen Gesetz benutzen.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,

r44=4=+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl), 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Für n=01, 2 und 3, nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i,

und die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
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