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Lösung 3.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Polar form'''
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'''Polarform'''
Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,
Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Damit die beiden Seiten gleich sein sollen. müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
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Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen das Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen das Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>.
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Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Multipel von <math>2\pi</math>.
In Polarform lauten die Lösungen also
In Polarform lauten die Lösungen also
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Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant, und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.
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Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.
[[Image:3_3_6.gif|center]]
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und wir erhalten;
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und wir erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
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und wir erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
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\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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Die zweite Gleichung sagt dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen
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Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Nachdem wir wissen dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:
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Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
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und wir erhalten auch
und wir erhalten auch
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\tan\frac{\pi}{8}
\tan\frac{\pi}{8}
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&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
+
&= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
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= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
+
= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 10:14, 23. Aug. 2009

Polarform

Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,

z1+i=r(cos+isin)=2cos4+isin4 

und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

r2(cos2+isin2)=2cos4+isin4. 

Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Multipel von 2 unterscheiden,

r22=2=4+2n

Dies ergibt

r=2=21212=214=42=8+n

Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen dem Argument 8 entsprechen, plus ein Multipel von 2, und alle ungerade Zahlen dem Argument 98 entsprechen, plus ein Multipel von 2.

In Polarform lauten die Lösungen also

z=42cos8+isin842cos89+isin89.


Eine Lösung, z=42(cos(8)+isin(8)  liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, z=42(cos(98)+isin(98))  liegt im dritten Quadrant.


Auf der Form a + bi

Wir schreiben hier z=x+iy und versuchen die Konstanten x und y zu bestimmen.

Mit z=x+iy, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \begin{align}

(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt] x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir können hier \displaystyle x und \displaystyle y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten,

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}

und wir erhalten insgesamt dre Gleihungen,

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}+1

und wir erhalten,

\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten erhalten wir,

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1\bigr)
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}-1

und wir erhalten,

\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}

Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align} \right.

Die zweite Gleichung sagt auch, dass \displaystyle xy positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right.

Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:

\displaystyle z = \left\{\begin{align}

\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt] -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

\displaystyle \sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}

und daher ist

\displaystyle \begin{align}

\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt] \sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}

und wir erhalten auch

\displaystyle \tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}

Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,

\displaystyle \begin{align}

\tan\frac{\pi}{8} &= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}} = \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt] &= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1\,\textrm{.} \end{align}

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