Lösung 3.4:4
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>. | und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>. | ||
| - | Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist. | + | Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist. |
Also wird das Polynom den Faktor | Also wird das Polynom den Faktor | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}} | ||
| - | enthalten, | + | enthalten, also ist |
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}} | ||
Version vom 08:53, 25. Aug. 2009
Nachdem
Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir
und separieren den Real- und Imaginärteil,
und erhalten,
 −11+a+b2−2a=0 =0. |
Dies ergibt
Die Gleichung ist daher
und hat die eine Wurzel
Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch
Also wird das Polynom den Faktor
 z−(1−2i) z−(1+2i)=z2−2z+5 |
enthalten, also ist
wo
| \displaystyle \begin{align}
z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align} |
Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.
