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Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
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Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
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Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
Also wird das Polynom den Faktor
Also wird das Polynom den Faktor

Version vom 08:54, 25. Aug. 2009

Nachdem z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren,

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil,

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

und erhalten,

−11+a+b2−2a=0=0. 

Dies ergibt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und hat die eine Wurzel z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5 

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5)

wo z−A der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align}

z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.

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