1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Beispiel 1

Die linearen Funktionen f(x)=x und g(x)=−2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich 1 und −2.

Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Beispiel 2

Für die Funktion f(x)=4x−x2 gilt, dass f(1)=3, f(2)=4 und f(4)=0.

1. Die Sekantensteigung von x=1 bis \displaystyle x = 2 ist

   \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}

   und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist

   \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}

   und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung

   \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}

   Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

Beispiel 3

1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist.
2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 die Steigung der Funktion \displaystyle 3 ist.

Beispiel 4

Aus der Figur sehen wir, dass

Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Erklären Sie folgendes mit mathematischen Begriffen:

1. \displaystyle T(10)=80
   
   Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.
2. \displaystyle T'(2)=-3
   
   Zum Zeitpunkt \displaystyle t=2 nimmt die Temperatur 3° pro Minute ab.
   (Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist an der Stelle \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

Lassen wir \displaystyle h sich Null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x an der Stelle x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Beispiel 8

1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
   \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
   \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind

Berechne und erkläre folgende Ausdrücke

1. \displaystyle T(120)
   
   \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
   Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.



2. \displaystyle T'(120)
   
   Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist

   \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120 \approx 348\textrm{.}

   Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro.

Beispiel 13

Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.

Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.