1.1 Einführung zur Differentialrechnung
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}} | ||
- | mit der Lösung <math> x=0</math>. | + | mit der Lösung <math> x=0</math>. An der Stelle <math>x=0</math> hat die Kurve den <math>y</math>-Wert <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math>, und daher ist der tangentiale Punkt <math>(0,2)</math>. |
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||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}} | ||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}} |
Version vom 08:51, 2. Sep. 2009
Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Die Definition der Ableitung
- Die Ableitungen von
x ,lnx ,ex ,cosx ,sinx undtanx . - Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
- Tangenten und Normalen.
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Die Ableitung
f einer Funktion ist die Steigung von(a)
y=f(x) an der Stellex=a . - Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
- Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion
f(x)= an der Stellex
x=0 ). - Wie man
x ,lnx ,ex ,cosx ,sinx undtanx sowie Summen und Differenzen davon ableitet. - Wie man die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmt.
- Die Ableitung in
x0 wird mitf oder(x0)
dfdx(x0) bezeichnet.
A - Einführung
Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder abnehmend ist und wie steil sie ist.
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung x
y
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Beispiel 1
Die linearen Funktionen
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Graph von f(x) = x hat die Steigung 1. | Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung - 2. |
Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.
Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t Stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto zurückgelegt hat, als
Beispiel 2
Für die Funktion
- Die Sekantensteigung von
x=1 bisx=2 istx
y=2−1f(2)−f(1)=14−3=1,
- Die Sekantensteigung von
x=2 bisx=4 istx
y=4−2f(4)−f(2)=20−4=−2,
- Zwischen
x=1 undx=4 ist die Sekantensteigungx
y=4−1f(4)−f(1)=30−3=−1.
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Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. | Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1. |
B - Definition der Ableitung
Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:
Sekantensteigung
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Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von
Die Ableitung von (x)
Die Ableitung von
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Falls (x0)
Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.
Funktion | Ableitung |
---|---|
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C - Das Vorzeichen der Ableitung
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:
-
f (positive Ableitung) bedeutet, dass(x)
0
f(x) zunehmend ist. -
f (negative Ableitung) bedeutet, dass(x)
0
f(x) abnehmend ist. -
f (Ableitung ist null) bedeutet, dass(x)=0
f(x) waagerecht ist.
Beispiel 3
f(2)=3 bedeutet, dass inx=2 der Wert der Funktion3 ist.f bedeutet, dass in(2)=3
x=2 die Steigung der Funktion3 ist.
Beispiel 4
Aus der Figur sehen wir, dass
|
|
Beachten Sie den Unterschied zwischen (x)
Beispiel 5
Die Temperatur
T(10)=80
Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.T (2)=−3
Zum Zeitpunktt=2 nimmt die Temperatur 3° pro Minute ab.
(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)
Beispiel 6
Die Funktion x
0)
Man kann auch sagen, dass (0)
D - Ableitungen von Funktionen
Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
Beispiel 7
Wenn
Lassen wir
Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
Funktion | Ableitung |
---|---|
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Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
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Und, wenn k eine Konstante ist, ist
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Beispiel 8
D(2x3−4x+10−sinx)=2Dx3−4Dx+D10−Dsinx
=2 3x2−4
1+0−cosx
y=3lnx+2ex ergibty .=3
x1+2ex=x3+2ex
ddx .53x2−2x3
=ddx
53x2−21x3
=53
2x−21
3x2=56x−23x2
s(t)=v0t+2at2 ergibts .(t)=v0+22at=v0+at
Beispiel 9
f(x)=x1=x−1 ergibtf .(x)=−1
x−2=−1x2
f(x)=13x2=31x−2 ergibtf .(x)=31
(−2)x−3=−32
x−3=−23x3
g(t)=tt2−2t+1=t−2+t1 ergibtg .(t)=1−1t2
y= x2+x1
2=(x2)2+2x2
x1+
x1
2=x4+2x+x−2
ergibt y .=4x3+2−2x−3=4x3+2−2x3
Beispiel 10
Die Funktion
![]() |
Also ist zum Beispiel (2)=2
2−2
23=4−41=415
(−1)=2
(−1)−2
(−1)3=−2+2=0
(0)
Beispiel 11
Ein Gegenstand bewegt sich so wie
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.} |
Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.
Beispiel 12
Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind
\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.} |
Berechne und erkläre folgende Ausdrücke
- \displaystyle T(120)
\displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro. - \displaystyle T'(120)
Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist\displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120 \approx 348\textrm{.}
Tangenten und Normalen
Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zur Kurve ist.
Eine Normale ist eine Gerade, die rechtwinklig zur Kurve und daher auch rechtwinklig zur Tangente ist.
Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt deren Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Nachdem wir die Tangente durch Ableitung bestimmen können, können wir auch die Normale durch Ableitung bestimmen.
Beispiel 13
Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).
Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also
\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2. |
Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir
\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
m = 0. |
Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.
Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .
Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist
\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}. |
Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.
|
| |
Tangente \displaystyle y=2x | Normale \displaystyle y=\frac{5-x}{2} |
Beispiel 14
Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.
Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung \displaystyle -1 sein, also \displaystyle y' = -1. Wir erhalten dadurch
mit der Lösung \displaystyle x=0. An der Stelle \displaystyle x=0 hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2). |
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