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Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}}
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Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivreschen Gesetz benutzen.
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Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
+
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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und erhalten die Gleichung
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und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
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4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
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4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
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-1+i\,,&\\[5pt]
-1+i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
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1-i\,\textrm{,}
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1-i\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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und die Lösungen für z sind
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Die Lösungen für z sind
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}

Version vom 11:58, 3. Sep. 2009

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

r44=4=+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl) 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Für n=01, 2 und 3 nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i.

Die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
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