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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}		y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
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-	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{cases}
-	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
-	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
-	\end{cases}</math>}}

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Version vom 15:20, 4. Sep. 2009

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20.

(1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x im Punkt x=x0.

k=−2x0

(2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m.

(3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m.

(4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur x0- und y0-Terme.

y0=−2x20+2x0+1

(3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0.

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1

Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0.

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2undx0=1+2.

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

y0=−3+22undy0=−3−22.

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .